Aufgabenübersicht Klasse 12

„Kettenregel“ zum Bilden von Stammfunktionen:

Beispiele erarbeitet von R. Bothe

Merke!

Steht vor einer verketteten Funktion die Ableitung der inneren Funktion als Faktor, so erhält man eine Stammfunktion dieses Produktes, indem man die innere Ableitung nicht berücksichtigt und nur eine Stammfunktion der äußeren Funktion der verketteten Funktion bildet.

Begründung:

Begründung: f(x) = u[v(x)] ist eine verkettete Funktion dann gilt: f ’(x) = v’(x) × u’[v(x)] Die Funktion f ist also bezüglich der Funktion f ’ eine Stammfunktion, deshalb gilt: Für g(x) = h’(x) × k[h(x)] ist G(x) = K[h(x)] eine Stammfunktion.

Beispiel 1:

f(x) = 2x × (x^2 - 3)^4

Die Voraussetzung zum Anwenden der Regel ist erfüllt, denn die Ableitung der inneren Funktion h(x) = x^2 - 3 ist h’(x) = 2x. Dieser Term steht als Faktor vor der verketteten Funktion k[h(x)] = (x^2 - 3) ^4.

Also muss ich nur zur Funktion k eine Stammfunktion finden. Die Funktion k ist eine Potenzfunktion der Form k(z) = z^4

Mit Hilfe der Potenzregel erhalte ich eine Stammfunktion für k:

K(z)=

1

× z^5

5

Mit z = h(x) = x^2 - 3 erhalte ich eine gesuchte Stammfunktion F:

F(x) =

1

× (x^2 - 3)^5

5

Beispiel 2:

f(x) = 3 × (3x - 1) ^- 4

Die Voraussetzung zum Anwenden der Regel ist erfüllt, denn die Ableitung der inneren Funktion h(x) = 3x - 1 ist h’(x) = 3. Dieser Term steht als Faktor vor der verketteten Funktion k[h(x)] = (3x - 1) ^- 4.

Also muss ich nur zur Funktion k eine Stammfunktion finden. Die Funktion k ist eine Potenzfunktion der Form k(z) = z ^- 4

Mit Hilfe der Potenzregel erhalte ich eine Stammfunktion für k:

K(z)= -

1

× z ^- 3

3

Mit z = h(x) = x^2 - 3 erhalte ich eine gesuchte Stammfunktion F:

F(x) = -

1

× (x^2 - 3) ^-3

3

Beispiel 3:

f(x) = 3x^2 × sin (x^3)

Die Voraussetzung zum Anwenden der Regel ist erfüllt, denn die Ableitung der inneren Funktion h(x) = x^3 ist h’(x) = 3x^2. Dieser Term steht als Faktor vor der verketteten Funktion k[h(x)] = sin (x^3)

Also muss ich nur zur Funktion k eine Stammfunktion finden. Mit k(z) = sin z folgt: K(z) = - cos z

Mit z = h(x) = x^3 erhalte ich eine gesuchte Stammfunktion F:

F(z) = - cos (x^3)

1. Übe selbständig. Bilde für jede der folgenden Funktionen eine Stammfunktion.

a) f(x) = 5 × (5x + 8)^7

b) f(x) = (2x - 1) × (x^2 - x)^0,5

c) f(x) = cos x × (sin x)^4

d) f(x) = e^x × (e^x + 1) ^- 4

Lösungen

2. Aufgaben für Fortgeschrittene:

a) f(x) = - 6 × (6x + 1)^8

b) f(x) = 4x× (x^2 - 4) ^–5

c) f(x) = 3 × sin (2x)

d) f(x) = e^0,5^×^x

Lösungen

3.

zum Weiterarbeiten : (Gerade diese Beispiele zeigen, dass die Verwendung unserer Regel das Bilden von Stammfunktionen zu Funktionen mit oben genannten Eigenschaften ein Kinderspiel werden lässt.)

a) f(x) =

3

b) f(x) =

4x

c) f(x) =

4x^2

c) f(x) =

2 × cos x

(x + 1)^2

(x^2 + 3)^3

Ö(x^3 - 2)^3

(1 + sin x)^2

Lösungen

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