Klasse 13:  gebrochenrationale Funktionen

erarbeitet von R. Bothe

 

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Lösungshinweise:

Hinweise für Aufgabe a)

Merke!  Wenn möglich, forme Zähler und Nenner des Funktionsterms gebrochenrationaler Funktionen in Produkte um. Falls Zähler und Nenner gleiche Nullstellen haben, kürze den Term durch die entsprechenden Linearfaktoren.
Die so definierte Funktion fs ist in vielen Fällen eine stetige Fortsetzung der Ausgangsfunktion f.
siehe auch a)

Asymptoten:

senkrechte Asymptoten:

Nullstellen der Nennerfunktion der Funktion fS berechnen.

 

schräge Asymptoten:
 (wenn Grad der Zählerfunktion um eins höher ist als Grad der Nennerfunktion.)

·        Funktionsterm der Funktion fS umformen (Polynomdivision durchführen),

 

 

·        Grenzwert des „Restquotienten“ muss Null sein,

 

 

·        ganzrationaler Teil des Funktionsterms ist Term der Asymptote.

 

waagerechte Asymptote:

(wenn Grad der Zählerfunktion gleich Grad der Nennerfunktion ist.)

Grenzwert der Funktion fs für x gegen ±¥ bestimmen.

oder

Vorgehensweise wie bei schräger Asymptote.

 

quadratische Parabel ist Asymptote: (wenn Grad der Zählerfunktion um zwei höher ist als Grad der Nennerfunktion.)

Vorgehensweise wie bei schräger Asymptote.

Sonderfälle:

Wenn im Funktionsterm Parameter vorkommen, ist zu untersuchen, für welche Parameterwerte Zählernullstellen gleich  Nennernullstellen sind. (Umformen von Zähler und Nenner in Produkte.)

Lassen sich so erhaltene Linearfaktoren (x – x0) kürzen, so hat die Funktion an der Stelle x0 eine hebbare Definitionslücke, also auch einen Grenzwert, wenn der Nennerterm an dieser Stelle definiert ist.

(Dieser Hinweis  ­ gibt Dir einen Tipp für die Lösung des letzten Teiles der Aufgabe a)!!)

Hochpunkte:

hinreichende Bedingung:

f’(x) = 0,   

 

notwendige Bedingung:

f’’(x) < 0,   also ft’’(2) < 0,

 

(1)   Bilde also die 1. und 2. Ableitung,

(2)   setze die erste Ableitung 0, und löse diese Gleichung,

(3)   die in Schritt (2) erhaltenen x-Werte setze zunächst in die 2. Ableitung ein. Ist diese für die eingesetzten Werte kleiner als 0 (größer als 0), so ist der in Schritt (2) berechnete x-Wert eine Hochstelle xH (Tiefstelle xT),  setze jetzt den in Schritt (2) erhaltenen x-Wert xH (xT) in die Ausgangsgleichung der Funktion ein. Du erhältst so den Hochpunkt H(xH|f(xH))  (T(xT|f(xT)).

Wendepunkte:

hinreichende Bedingung:

f’’(x) = 0

 

notwendige Bedingung:

f’’’(x) ¹ 0

 

(1)   Bilde also die 2. und 3. Ableitung,

(2)   setze die zweite Ableitung 0, und löse diese Gleichung,

(3)   die in Schritt (2) erhaltenen x-Werte setze zunächst in die 3. Ableitung ein. Ist diese für die eingesetzten Werte ungleich 0, so ist der in Schritt (2) berechnete x-Wert eine Wendestelle xw,

(4)   setze jetzt den in Schritt (2) erhaltenen x-Wert xw in die Ausgangsgleichung der Funktion ein. Du erhältst so den Wendepunkt W(xw|f(xw))

Hinweise für Aufgabe b):

Schnittstellen:

Setze den Term der Funktionsgleichung der Funktion f1 mit dem Funktionsterm der Geraden g gleich.  (Forme dazu den Funktionsterm der Funktion durch Division in eine Summe um.)

Flächeninhalt:

Eine Fläche kann nur in einem Intervall vollständig eingeschlossen werden, wenn sie dort auch stetig ist!! Prüfe also die Lage der Schnittstellen.

Bilde die Differenzfunktion  d(x) = f(x) – a(x)

(Forme dazu den Funktionsterm der Funktion durch Division in eine Summe um.).

Ermittle eine Stammfunktion D(x) und berechne das Integral.
Welches Vorzeichen hat das Intergral?

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