Klasse 13:  gebrochenrationale Funktionen

erarbeitet von R. Bothe

 

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Lösungshinweise:

 

Aufgabe, Thema:

Arbeitsschritte, Erklärungen:

a)

hebbare Definitionslücke:

-   Umformen des Funktionsterms:

·    konstanten Faktor ausklammern,

·    Zähler- und Nennerterm jeweils in Produkt umformen,

-   Zähler- und Nennerpolynom gegeneinander kürzen,

     (Der erhaltene Term heiße TS.)

Eine hebbare Definitionslücke a liegt vor, wenn Zählerfunktion und Nennerfunktion eine gemeinsame Nullstelle x0 = a haben und für den Nenner TN  des gekürzten Terms gilt:
TN(x0) ¹ 0.

(TS ist dann der Term der stetigen Fortsetzung der Funktion f. Die stetige Fortsetzung sei mit fS bezeichnet.)

oder:

x0 heißt hebbare Definitionslücke, wenn die Funktion f an der Stelle x0 nicht definiert ist und an der Stelle x0 einen Grenzwert  hat.

 

Grenzwert an der Stelle a:

Weg 1:

·   fS(a) berechnen.

·   fS(a) ist der Grenzwert an der Stelle a.

 

 

Weg 2:

·   f(a - h), h>0 berechnen,

·   Grenzwert von f(a - h)
    für h gegen 0 berechnen.

b)

Extrempunkte:

-  Funktionsterm sinnvoll umformen: siehe a)!!

(Die Funktion fS erfüllt alle Anforderungen zur Bewältigung der folgenden Aufgaben. So kann ihr Funktionsterm als Ausgangsform für alle weiteren Berechnungen genutzt werden.)

-  f ’(x) = 0 und f “(x) > 0 oder f “(x) < 0.

 

Wendepunkte:

-  f “(x) = 0 und f “’(x) ¹ 0.

 

Asymptoten:

senkrechte Asymptoten:

Nullstellen der Nennerfunktion der Funktion fS berechnen.

 

 

schräge Asymptoten:
 (wenn Grad der Zählerfunktion um eins höher ist als Grad der Nennerfunktion.)

·

Funktionsterm der Funktion fS umformen (Polynomdivision durchführen),

 

 

 

·

Grenzwert des „Restquotienten“ muss Null sein,

 

 

 

·

ganzrationaler Teil des Funktionsterms ist Term der Asymptote.

 

 

waagerechte Asymptote:

(wenn Grad der Zählerfunktion gleich Grad der Nennerfunktion ist.)

Grenzwert der Funktion fs für x gegen ±¥ bestimmen.

oder

Vorgehensweise siehe schräge Asymptote.

c)

Tangente an der Stelle -1:

 ·

Gleichung der Tangente:  y = mx + n,

 

 

 ·

Anstieg berechnen:  m = fS ’(-1),

 

 

 ·

Funktionswert fS(-1) berechnen,

 

 

 ·

in y = mx + n  einsetzen (y = fS(-1), m=fS’(-1), x = -1) und erhaltene Gleichung nach n umformen.

d)

Ansatz zur Flächenberechung:

 ·

Schnittstellen des Graphen der Funktion fS und der Asymptote berechnen,

 

 

 ·

Gleichung der Differenzfunktion bestimmen,

 

 

 ·

Ansatz für Integralfunktion bzw. Integralfunktionen bestimmen,

 

 

 ·

Betrag bilden bzw. Beträge der Funktionswerte bestimmen und addieren.

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