Klasse 13: Analytische Geometrie		erarbeitet von R. Bothe
| Aufgabenübersicht Klasse 13 | Aufgabe | Ergebnisse | Lösungswege |
Lösungshinweise:
a)	Eine Ebene ist eindeutig bestimmt durch einen Stützvektor und zwei nicht kollineare Spannvektoren. Durch die drei Punkte sind drei Stützvektoren bestimmt, Mit Hilfe der drei Punkte lassen sich die Komponenten von zwei (sechs) Spannvektoren berechnen.
	Für die Koordinatenform ax + by + cz = d benötigt man einen Normalvektor, wobei a die x-Komponente, b die y-Komponente und c die z-Komponente des Normalvektors sind. Jeder Normalvektor der Ebene steht senkrecht zu zwei nicht kollinearen Spannvektoren. Also lässt sich ein Normalvektor zu E mit Hilfe des Skalarproduktes (Das Skalarprodukt aus dem Normalvektor und den beiden Spannvektoren muss 0 sein) oder mit Hilfe des Kreuzproduktes (Das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Vektoren ergibt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.) bestimmen.
b)	Fertige eine einfache Skizze an. Was muss für die Normalvektoren gelten, wenn die Ebenen senkrecht aufeinander stehen sollen? (Nutze das Skalarprodukt!!)
c)	Die Aufgabe lässt sich auf das Grundproblem „Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade“ zurückführen. Welchen Richtungsvektor hat die z-Achse? (räumliche Skizze!!)
d)	Die Aufgabe lässt sich auf das Problem „Reale Winkel in ebenen und räumlichen Figuren“ zurückführen.
e)	Die Aufgabe lässt sich auf das Grundproblem „Schnittwinkel zwischen Ebenen“ zurückführen. Welchen Normalvektor hat die x-y-Ebene? (räumliche Skizze!! Welche Komponenten hat ein Vektor in Richtung der z-Achse?)
f)	- Parametergleichungen in Koordinatengleichungen umformen, - in beiden Koordinatengleichungen eine Variable durch Parameter (t oder ...) substituieren, - entstandenes Gleichungssystem in Abhängigkeit von t lösen, - Die Terme für x, y und z tragen wir in das folgende Geradenschema ein:
g)	Auch in dieser Aufgabe wird eine Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen gesucht. Eine Koordinatengleichung der x-z-Ebene heißt y = 0. Also setzen wir in die Koordinatengleichung der Ebene E2 für y den Wert 0 ein und substituieren eine der verbleibenden Variablen durch einen Parameter. Die Terme für x, y und z tragen wir wiederum in das Geradenschema ein:
h)	Wenn eine Gerade zu zwei Ebenen (die nicht parallel verlaufen) parallel verläuft, dann muss sie parallel zur Schnittgeraden verlaufen. (oder sie steht senkrecht auf beiden Normalvektoren der beiden Ebenen.)
i)	Da h parallel zur Ebene E1 verläuft, ist der Richtungsvektor der Spiegelgeraden gleich dem Richtungsvektor von h. Ein Stützvektor lässt sich durch Vektoraddition berechnen. Fertige hierzu eine Skizze an.
j)	Die Aufgabe lässt sich auf das Grundproblem „Abstand zweier Geraden“ zurückführen. Möglichkeit: Wenn zwei windschiefe Geraden gegeben sind, dann lassen sich zwei Ebenen E1 (enthält die Gerade h) und E2 (enthält die z-Achse) so finden, dass sie parallel verlaufen. Der Abstand dieser parallelen Ebenen ist gleich dem Abstand der beiden Geraden: Parametergleichung einer dieser Ebenen: in HNF umformen und dann den Abstand von A2 zu E1 berechnen.
zurück