Klasse 11 – 13 / Tangenten durch einen Punkt |
erarbeitet von R. Bothe |
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Anleitung zum Aufstellen einer Gleichung einer Tagente an den Graphen einer Funktion durch einen Punkt, der nicht notwendig auf dem Graphen der Funktion liegt. |
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Da jede Tangente eine
Gerade ist, lässt sich der Verlauf einer jeden Tangente durch die Gleichung Wenn wir also die Parameter m und n ermittelt haben, so ist auch eine Gleichung für die gesuchte Tangente bestimmt. |
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Vorüberlegung : |
Im Gegensatz zur Problematik „Tangente an einer Stelle“ ist die Stelle, an der die Tangente den Graphen berührt, mit unserer Aufgabenstellung (Punkt durch P(xP|yP) meist nicht bekannt. Da P meist nicht auf dem Graphen von f liegt, wäre eine Berechnung des Anstieges an der Stelle xP wenig sinnvoll. |
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Da die Berührstelle nicht bekannt ist, bietet es ich an,
sie mit einer Variablen |
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Somit ergibt die Abarbeitung der folgenden Schritte Tangentengleichungen gesuchter Tangenten an den Graphen einer Funktion f durch einen gegebenen Punkt P( xP | yP ): (Natürlich
gibt es noch weitere Verfahren, mit denen sich dieses Problem lösen lässt.) |
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Erklärung, Kommentar |
Beispiel: |
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Durch den Punkt P(3|8) werden Tangenten an den Graphen der Funktion f mit f(x) = x2 gelegt. |
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Schritt 1: |
Ermitteln einer Tangentengleichung einer Tangente an Gf an einer Stelle u. (Man erhält also eine Gleichung, die durch einfaches Einsetzen jedes gewünschten Wertes für u eine entsprechende Tangentengleichung für diese spezielle Stelle u liefert. Umgekehrt kann man diese Stelle u berechnen, wenn ein Punkt der Geraden gegeben ist.) |
1. f ’(x)
= 2x 2. f
’(u) = 2u 3. f(u)
= u2 à
B(u|u2) 4. Mit y = mx + n folgt: u2 = 2u × u + n Û n = -u2 5. y = 2u × x - u2 |
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Schritt 2: |
Berechnen der entsprechenden Berührstellen mit Hilfe der in Schritt 1 gewonnenen Gleichung und dem gegebenen Punkt P (durch Punkt P ist ein x-Wert und ein y-Wert gegeben). |
Mit P(3|8) und y = 2u × x - u2 folgt: 8 = 2u × 3 - u2 Û 0 = u2 - 6u + 8 Û u = 3 ± 1 Û u = 4 Ú u = 2 |
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Schritt 3: |
Aufstellen der entsprechenden Tangentengleichungen. (Die in Schritt 2 berechneten Berührstellen in die in Schritt 1 aufgestellte allgemeine Tangentengleichung einsetzen.) |
y = 2u × x - u2 Mit u = 4 erhält man y = 8x - 16 und mit u = 2 erhält man y = 4x – 4 |
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