WP-MA: Klasse 9			erarbeitet von R. Bothe (Gymnasium Seelow)
Quadratische Ergänzung
Sind zwei Summanden gegeben, von denen der eine ein Quadrat ist, dann ist es mögliche einen dritten Summanden zu finden, so dass mit Hilfe des dritten Summanden ein vollständiges Quadrat entsteht. Dieser dritte Summand heißt quadratische Ergänzung. (Der 1. Summand ist das quadratische Glied, der 2 Summand das lineare Glied des vollständigen Quadrates.)
B1:	Gesucht ist die quadratische Ergänzung zu x^2 + 4x
Zum Finden der quadratischen Ergänzung wenden wir die 1. binomische Formel an: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 (b^2 ist also die quadratische Ergänzung zu a^2 + 2ab)
Für unser Beispiel heißt das:		a^2 = x^2, das heißt wir finden den ersten Summanden des vollständigen Quadrates, indem wir aus a^2 die Wurzel ziehen: a = x
		Auch der zweite Summand: 2ab ist gegeben:					2ab = 4x
		Mit a = x folgt:					2xb = 4x
		Somit ist b bestimmt:					b =	4x	= 2
								2x
		Wenn b = 2 ist, dann ist die quadratische Ergänzung b^2 gleich 4 (dem Quadrat von 2)
So ergibt sich zum Finden der quadratischen Ergänzung der folgende Algorithmus:
Vorgehensweise:				speziell für B1:
(1)	Ziehen der Wurzel aus dem Quadrat,				Ö(x^2) = x
(2)	verdoppeln der Wurzel,				2 × x
(3)	dividieren des linearen Gliedes durch die doppelte Wurzel,				4x	= 2
					2x
(4)	den erhaltenen Quotienten quadrieren,				2^2= 4
(5)	durchführen der Probe.				x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Die quadratische Ergänzung zu x^2 + 4x heißt also 4, denn x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
typischer Schülerfehler: Die Schreibweise x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 ist natürlich falsch.
zurück