Klasse 13: Partialbruchzerlegung |
erarbeitet
von R. Bothe |
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| Aufgabenübersicht Klasse 13 | weiteres Einführungsbeispiel | B6 | |
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Einführung: |
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Addiert man zwei oder mehrere Brüche mit linearen Nennern, so entsteht ein gebrochenrationaler Term. |
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zum Beispiel: |
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Bei der Partialbruchzerlegung versucht man diesen Vorgang umzukehren, indem man einen komplizierten gebrochenrationalen Term in seine einfachen Bestandteile zerlegt. Die Zerlegung eines komplizierten gebrochenrationalen
Terms in eine Summe einfacher Teilbrüche wird Partialbruchzerlegung
genannt. Bei der Zerlegung gebrochenrationaler Terme in Partialbrüche kann man sich auf echtgebrochene Terme beschränken, denn jeder unechtgebrochene Term lässt sich durch Polynomendivision (auch Partialdivision genannt) in einen ganzrationalen und einen echtgebrochen rationalen Anteil zerlegen. Ich werde den Vorgang an dem eingangs angeführten Beispiel erklären: |
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Der Ausdruck |
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soll in seine Partialbrüche zerlegt werden. |
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/(1)
Die Nenner der Teilbrüche erhält man, indem man die
Summe x2 - 2x
- 3 in ein Produkt zerlegt. /(2) Somit kann eine Zerlegung des Terms nur wie folgt aussehen: |
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/(3)
Zur Berechnung von A und B multiplizieren wir die
obige Gleichung mit dem /(4)
Diese Gleichung muss für alle Werte von x erfüllt
sein. |
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Das oben verwendete Verfahren zur Ermittlung der
Partialbrüche nennt man Einsetzverfahren.
Auch das hier nicht beschriebene Verfahren des Koeffizientenvergleichs würde zum gleichen Ergebnis führen. |
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Merke! |
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Ist u eine n-fache Nullstelle des Zählerterms,
so müssen im Ansatz für die Partialbruchzerlegung die Nenner |
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- Wenn im Nenner ein quadratischer Ausdruck steht, der keine reellen Nullstellen hat, so muss der Zähler die Form A×x + B haben. (Beispiel) |
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- Achte stets darauf, dass der Bruch, der in Partialbrüche zerlegt werden soll, stets ein echt gebrochener Term ist. Führe bei unecht gebrochenen Termen zunächst die Polynomendivision durch. |
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