Klasse 13 – Grundregeln für das Bilden von Ableitungen:

erarbeitet von R. Bothe

 

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B7: (Produktregel)

Rechenweg:

Kommentar, Erklärung, Regel:

f(x) = x2 × sin x

Die Funktion f hat die Form f(x) = u(x) × v(x)

(Produkt zweier Terme, die von einer Variablen abhängig sind)

Funktionen dieser Form werden mit Hilfe der Produktregel (nicht zu verwechseln mit der
(Faktorregel) abgeleitet:

f ’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x)

Kurzform: f ’ = u’× v + u × v’

 

u(x) = x2       à    u’(x) = 2x

v(x) = sin x    à   v’(x) = cos x

f ’(x) = 2x × sin x + x2 × cos x

Bilden der 1. Ableitung mit Hilfe der Produktregel.

 

Das Umformen des Funktionsterms in ein Produkt bringt Vorteile bei der Berechnung von Extremstellen.

 

f ’(x) = 2x × sin x + x2 × cos x

 

f“(x) = 2 × (1 × sin x +x × cos x ) + 2x × cos x  + x2 × (-sin x)

         = 2 sin x + 2x cos x + 2x cos x – x2 sin x

         = 2 sin x + 4x cos x – x2 sinx

         = 4x cos x + (2 - x2) sinx

Will man die 2. Ableitung bestimmen, ist die Form einer Summe oft günstiger.

 

Bestimmen der 2. Ableitung mit Hilfe der Summen-, Faktor- und Produktregel.

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