Nähere Erklärungen zu B2:

erarbeitet von R. Bothe

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Rechenweg:		Kommentar, Erklärung, Regel:
f(x) = ( a + 1 ) × [1 – (x^2 + 1)^-^1]		f hat die Form: f(x) = t × {h(x) + v[u(x)]}
		(a+1) ist ein konstanter Faktor, also ist die Faktorregel anzuwenden: f(x) = t × g(x) à f ’(x) = t × g’(x) (1)
		t = a+1 f ‘(x) = (a+1) × g’(x) g(x) = 1 – (x^2 + 1)^-1 g’(x) = ?
		Der Funktionsterm von g ist eine Summe, also ist die Summenregel anzuwenden: g(x) = h(x) + k(x) à g’(x) = h’(x) + k’(x) (2)
		h(x) = 1 à h’(x) = 0 k(x) = - (x^2 + 1)^-1
		Die Funktion k ist eine verkettete Funktion, also ist die Kettenregel anzuwenden: k(x) = v[u(x)] à k’(x) = u’(x) × v’[u(x)] (3) in Worten: Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion
		innere Funktion: z = u(x) = x^2 + 1 à u’(x) = 2x äußere Funktion: v(z) = - z^-1 à v’(z) = - (-1) × z^-2= z^-2 Anwendung der Kettenregel: k’(x) = 2x × (x^2 + 1)^-2 à g’(x) = 0 + 2x × (x^2 + 1)^-2
f ’(x) = (a + 1) × [0 + 2x × (x^2+ 1)^-^2]		wegen (1), (2), (3).
f ‘(x) = (a + 1) × 2x × (x^2 +1 )^-2		Zusammenfassen
f ‘(x) = (a + 1) ×	2x	Anwendung der Potenzdefinition (negative Exponenten)
	(x^2 + 1)^2
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