Klasse 13 – Grundregeln für das Bilden von Ableitungen:

erarbeitet von R. Bothe

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Addition von Quotienten

Rechenweg:

Kommentar, Erklärung, Regel:

1-

17

=

1

-

17

-

Bestimme das gemeinsame Vielfache der Nenner.

(x – 3) ^2

1

(x – 3) ^2

(Das gemeinsame Vielfache muss sich durch

jeden Nenner kürzen lassen.)

In unserem Beispiel ist das gemeinsame Vielfache

1 × (x – 3)^2 = (x – 3 )^2

=

(x – 3)^2 - 17

-

Erweitere jeden Bruch auf den Hauptnenner.

1×(x – 3) ^2

(Hauptnenner durch Nenner mal Zähler des Bruches)

Erweiterung des 1. Bruches:

(x-3)^2 : 1 = (x-3)^2 à 1×(x-3)^2 = (x-3)^2

Erweiterung des 2. Bruches:

(x-3)^2 : (x-3)^2 = 1 à 17×1 = 17

=

x^2 – 6x + 9 - 17

-

Löse im Zähler die Klammern auf und fasse zusammen.

(x – 3) ^2

.

=

x^2 – 6x - 8

(x – 3) ^2

Merke!

Bevor man das gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmt, ist es ratsam jeden Nenner (wenn möglich) in ein Produkt umzuformen.

Beispiel:

4

+

x

-

x^2

+

x+2

=

4

+

x

-

x^2

+

x+2

2x-1

4x-2

4

x^2-4x+1

2x-1

2× (2x-1)

2×2

(2x-1)^2

Nach der Umformung der Nenner in Produkte lässt sich das gemeinsame Vielfache leicht erkennen: 4×(2x-1)^2

Jetzt muss noch jeder Bruch auf den Hauptnenner erweitert werden:

1. Bruch: 4×(2x-1)^2 : (2x-1) = 4(2x-1)

(Erweiterungszahl des 1. Bruches)

2. Bruch: 4×(2x-1)^2 : [2(2x-1)] = 2(2x-1)

(Erweiterungszahl des 2. Bruches)

3. Bruch: 4×(2x-1)^2 : 4 = (2x-1)^2

(Erweiterungszahl des 3. Bruches)

4. Bruch: 4×(2x-1)^2 : (2x-1)^2 = 4

(Erweiterungszahl des 4. Bruches)

=

4 × 4 (2x-1) + x × 2 (2x-1) - x^2 × (2x-1)^2 + (x+2) × 4

4×(2x-1)^2

=

16 × (2x-1) + 2x × (2x-1) - x^2 × (4x^2-4x+1) + 4 × (x+2)

4×(2x-1)^2

=

32x - 16 + 4x^2- 2x - 4x^4 + 4x^3 - x^2 + 4x + 8

4×(2x-1)^2

=

- 4x^4 + 4x^3+ 3x^2 + 34x - 8

4×(2x-1)^2

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