Klasse 13: gebrochenrationale Funktionen			erarbeitet von R. Bothe
| Aufgabenübersicht Klasse 13 | Ergebnisse | Lösungswege | Aufgabe |
Lösungshinweise:
Hinweise für Aufgabe a)
Schnittpunkte mit den Achsen:	Für Schnittpunkte mit der y-Achse gilt: x = 0 Berechne also f(0) und Schreibe den Punkt auf: Py(0|f(0)) Für Schnittpunkte mit der x-Achse gilt: f(x) = 0 Berechne also die Nullstellen xN der Funktion und schreibe die Punkte auf Px(xN|0).
Symmetrie:	Für Symmetrie zum Ursprung gilt: f(-x) = -f(x) Für Symmetrie zum Ursprung gilt f(-x) = f(x) Graphen können aber auch zu beliebigen Punkten (a|b) oder zu beliebigen Geraden x = c symmetrisch sein. Oft gibt die Existenz und Lage von Extrem- bzw. Wendepunkte Aufschluss über Symmetrieeigenschaften.
Merke! Wenn möglich, forme Zähler und Nenner des Funktionsterms gebrochenrationaler Funktionen in Produkte um. Falls Zähler und Nenner gleiche Nullstellen haben, kürze den Term durch die entsprechenden Linearfaktoren. Die so definierte Funktion fs ist in vielen Fällen eine stetige Fortsetzung der Ausgangsfunktion f. siehe auch a)
Asymptoten:	senkrechte Asymptoten:	Nullstellen der Nennerfunktion der Funktion fS berechnen.
	schräge Asymptoten: (wenn Grad der Zählerfunktion um eins höher ist als Grad der Nennerfunktion.)	· Funktionsterm der Funktion fS umformen (Polynomdivision durchführen),
		· Grenzwert des „Restquotienten“ muss Null sein,
		· ganzrationaler Teil des Funktionsterms ist Term der Asymptote.
	waagerechte Asymptote: (wenn Grad der Zählerfunktion gleich Grad der Nennerfunktion ist.)	Grenzwert der Funktion fs für x gegen ±¥ bestimmen. oder Vorgehensweise wie bei schräger Asymptote.
	quadratische Parabel ist Asymptote: (wenn Grad der Zählerfunktion um zwei höher ist als Grad der Nennerfunktion.)	Vorgehensweise wie bei schräger Asymptote.
Sonderfälle:	Wenn im Funktionsterm Parameter vorkommen, ist zu untersuchen, für welche Parameterwerte Zählernullstellen gleich Nennernullstellen sind. (Umformen von Zähler und Nenner in Produkte.) Lassen sich so erhaltene Linearfaktoren (x – x0) kürzen, so hat die Funktion an der Stelle x0 eine hebbare Definitionslücke, also auch einen Grenzwert, wenn der Nennerterm an dieser Stelle definiert ist. (Dieser Hinweis gibt Dir einen Tipp für die Lösung des letzten Teiles der Aufgabe a)!!)
Hochpunkte:	hinreichende Bedingung:	f’(x) = 0,
	notwendige Bedingung:	f’’(x) < 0, also ft’’(2) < 0,
	(1) Bilde also die 1. und 2. Ableitung, (2) setze die erste Ableitung 0, und löse diese Gleichung, (3) die in Schritt (2) erhaltenen x-Werte setze zunächst in die 2. Ableitung ein. Ist diese für die eingesetzten Werte kleiner als 0 (größer als 0), so ist der in Schritt (2) berechnete x-Wert eine Hochstelle xH (Tiefstelle xT), setze jetzt den in Schritt (2) erhaltenen x-Wert xH (xT) in die Ausgangsgleichung der Funktion ein. Du erhältst so den Hochpunkt H(xH|f(xH)) (T(xT|f(xT)).
Wendepunkte:	hinreichende Bedingung:	f’’(x) = 0
	notwendige Bedingung:	f’’’(x) ¹ 0
	(1) Bilde also die 2. und 3. Ableitung, (2) setze die zweite Ableitung 0, und löse diese Gleichung, (3) die in Schritt (2) erhaltenen x-Werte setze zunächst in die 3. Ableitung ein. Ist diese für die eingesetzten Werte ungleich 0, so ist der in Schritt (2) berechnete x-Wert eine Wendestelle xw, (4) setze jetzt den in Schritt (2) erhaltenen x-Wert xw in die Ausgangsgleichung der Funktion ein. Du erhältst so den Wendepunkt W(xw|f(xw))
Hinweise für Aufgabe b):
Schnittstellen:	Setze in den Funktionsterm für t zunächst m und dann n ein. Setze die Terme der Funktionsgleichungen der Funktionen fm und fn gleich und löse die entstandene Gleichung. Für den x-Wert der Schnittpunkte muss gelten xS = 1. Aus diesem Ansatz erhältst Du die Beziehung.
Hinweise für Aufgabe c):
Flächeninhalt: (unter Graphen)	Untersuche zunächst, ob im zu berechnenden Intervall Nullstellen existieren. siehe auch
Hinweise für Aufgabe d):
Flächeninhalt: (zwischen Graphen)	Hinweis zur Berechnung der Gleichung einer Tangente an Gf Eine Fläche kann nur in einem Intervall vollständig eingeschlossen werden, wenn sie dort auch stetig ist!! Prüfe also die Lage der Schnittstellen. Bilde die Differenzfunktion d(x) = f(x) – a(x) Ermittle eine Stammfunktion D(x) und berechne das Integral. Welches Vorzeichen hat das Intergral? siehe auch
Hinweise für Aufgabe e):
Extremwertaufgabe:	Es liegt ein Extremalproblem vor, das heißt, dass ein Wert (Funktionswert) in Abhängigkeit von einer Variablen mehr oder weniger groß werden soll. Bei solchen Aufgaben ist eine Gleichung einer Zielfunktion aufzustellen. Diese ist dann auf Extremwerte zu untersuchen (oft mit Hilfe ihrer Ableitungsfunktionen). Stelle bei solchen Aufgaben stets folgende Fragen bzw. arbeite folgende Schrittfolge ab: (1) Was soll minimal, maximal oder extremal werden? (ein Wert y) (2) Von welchem Wert ist diese Größe abhängig? (von einem Wert u) (3) Der Wert y muss sich dann in Abhängigkeit von u mit Hilfe von Haupt- und Nebenbedingungen durch einen Term, in der nur die gegebene Variable u vorkommt, darstellen lassen. (Natürlich können auch andere Variable verwendet werden!) (4) Die Zielfunktion hat dann die Form y = (u). (5) Die Zielfunktion ist abzuleiten, die Extremstellen sind zu berechnen. (6) Wichtig für den Nachweis der Globalität eines Extremwertes (Funktionswertes) ist das Verhalten der Zielfunktion an den Rändern ihres Definitionsbereiches. (besonders wichtig für diese Aufgabe)
zurück