Klasse 12 – Kurvendisskussion/Exponentialfunktion

erarbeitet von R. Bothe

 

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Für jedes t Î R ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x) = (x + t)2 × e -0,5 × x, x Î R, ihr Graph sei Gt.

Die Funktion h ist durch die Gleichung h(x) = (x + 1) × e -0,5 × x  bestimmt. Ihr Graph sei K.

d)

An der Stelle x = 2 sei eine Tangente g1 an den Graphen G1 gelegt. Bestimme eine Gleichung von g1. Wie groß ist der Winkel, den g1 mit der x-Achse einschließt?

e)

Zeigen Sie, dass es keine Funktion ft gibt, deren Graph genau einen Extrempunkt hat.

f)

Untersuchen Sie, welcher Graph Gt an der Stelle 0 einen Hochpunkt hat.

 

Mögliche Lösungswege d) – f):

d)

Tangente an G1 an der Stelle 2:

e)

Berechnen der Extremstellen:

Eine Funktion ft hat also nur dann genau eine Extremstelle, wenn die Stellen –t und 4 – t gleich sind:

      -t = 4 – t 

Û  0 = 4 ).

Wie man sieht, ist die Gleichung eine Kontradiktion (hat als Lösungsmenge die leere Menge).

f)

Graph hat an der Stelle 0 einen Hochpunkt:

Also hat nur der Graph der Funktion f2 an der Stelle x = 0 einen Hochpunkt.

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