Klasse 12 – Kurvendisskussion/Exponentialfunktion

erarbeitet von R. Bothe

 

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Für jedes t Î R ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x) = (x + t)2 × e -0,5 × x, x Î R, ihr Graph sei Gt.

Die Funktion h ist durch die Gleichung h(x) = (x + 1) × e -0,5 × x  bestimmt. Ihr Graph sei K.

a)

Untersuche die Funktion f1 auf Schnittpunkte mit den Achsen, Asymptoten und auf Extrempunkte.
Gib den Wertebereich der Funktion f1 an.
Zeichne den Graphen der Funktion f1 in ein kartesisches Koordinatensystem.

b)

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von G1 und K.

c)

Berechne den Inhalt der Fläche, den die Graphen der Funktionen f1 und h vollständig einschließen.

 

Mögliche Lösungswege a) – c):

a)

Schnittpunkte mit den Achsen:

Asymptoten:

Ableitungen:

Extrempunkte des Graphen der Funktion f1:

Wertebereich von f1:

 

Graph der Funktion f1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

Schnittstellen und Schnittpunkte der Graphen G1 und K:

c)

Flächeninhalt der Fläche, den die Graphen G1 und K vollständig einschließen:

Differenzfunktion:  d(x) = e–0,5x × (x2 + x)

Bestimmen einer Stammfunktion durch partielle Integration:

Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche:

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