Klasse 13: Analytische Geometrie- Abiturvorbereitung		erarbeitet von R. Bothe
| Aufgabenübersicht Klasse 13 | Aufgabe | Ergebnisse | Lösungswege |
Lösungshinweise:
a)	Für die Koordinatenform ax + by + cz = d benötigt man einen Normalvektor, wobei a die x-Komponente, b die y-Komponente und c die z-Komponente des Normalvektors sind. Jeder Normalvektor der Ebene steht senkrecht zu zwei nicht kollinearen Spannvektoren. Also lässt sich ein Normalvektor zu E mit Hilfe des Skalarproduktes (Das Skalarprodukt aus dem Normalvektor und den beiden Spannvektoren muss 0 sein) oder mit Hilfe des Kreuzproduktes (Das Kreuzprodukt zweier nicht kollinearer Vektoren ergibt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.) bestimmen.
b)	Die Aufgabe lässt sich auf das Grundproblem „Schnittwinkel zwischen Ebenen“ zurückführen. Welchen Normalvektor hat die x-y-Ebene? (räumliche Skizze!! Welche Komponenten hat ein Vektor in Richtung der z-Achse?)
c)	Die Aufgabe lässt sich auf das Grundproblem „Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade“ zurückführen. Welchen Richtungsvektor hat die z-Achse? (räumliche Skizze!!)
d)	Für Punkte auf den Achsen gilt: x-Achse: y = 0, z = 0 ® Px(x0|0|0) y-Achse : x = 0, z = 0 ® Py(0|y0|0) z-Achse : x = 0, y = 0 ® Pz(0|0|z0) Durch diese Punkte sind die Spurgeraden (Schnittgeraden der Ebenen mit den Hauptebenen des x-y-z-Koordinatensystems) der Ebene E1 gegeben. Die Ebene E2 hat die Form ax + by + 0z = d Da der Koeffizient vor z 0 ist, verläuft die Ebene parallel zur z-Achse, dass heißt, auch die Spurgeraden mit der x-z-Ebene und der y-z-Ebene verlaufen zu ihr parallel.
e)	- Parametergleichungen in Koordinatengleichungen umformen, - in beiden Koordinatengleichungen eine Variable durch Parameter (t oder ...) substituieren, - entstandenes Gleichungssystem in Abhängigkeit von t lösen, - Die Terme für x, y und z tragen wir in das folgende Geradenschema ein:
f)	Jeder Punkt der y-z-Ebene hat die Form Pyz(0|y0|z0). Setze diesen Punkt in die Geradengleichung von g1 ein und berechne zunächst t und damit dann y0 und z0. vervollständige die Zeichnung aus Teil d), indem Du G und dann den Körper einzeichnest. Der entstandene Körper ist eine vierseitige Pyramide mit dem Trapez OFGC als Grundfläche. Die Länge der Strecke OA ist die Körperhöhe.
g)	Alle Punkte auf der Geraden g1 haben die Form: Pt(3-2t|3+t|25+12t). Somit ist der Mittelpunkt Mt aller Kugeln allgemein bestimmt. Gesucht sind die Punkte Mt, die zu den Ebenen E1 und E2 den gleichen Abstand haben. Da du die Koordinatengleichungen der beiden Ebenen kennst, kannst du die Abstände von beiden Ebenen mit Hilfe ihrer HNF in Abhängigkeit von einem Parameter bestimmen und sie dann gleich setzten.
h)	Nutze zur Lösung der Aufgabe die folgenden Skizze: Mk ist der Ausgangsmittelpunkt der dann in Richtung der x-y-Ebene rollenden Kugel. Der Abstand von MK zu E1 beträgt also 0,5 LE und CMK steht senkrecht auf E1. CPt ist die Spur, die die Kugel beim rollen auf der Ebene E1 hinterlässt. Da die Kugel beim Rollen den kürzesten Weg nutzt, muss CPt senkrecht auf AB stehen.
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