Klasse 12:       

erarbeitet von R. Bothe

 

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Lösungshinweise:

a)

Schnittpunkte mit der x-Achse:    f(x) = 0

Extrempunkte:   f ’(x) = 0;  f “(x) >0 oder f “(x) <0, oder f ’ hat an der Extremstelle einen Vorzeichenwechsel

Wendepunkte:  f “(x) = 0;  f “’(x) ¹ 0 oder f “ hat an der Wendestelle einen Vorzeichenwechsel.

b)

Anleitung zur Lösung von Extremalproblemen:

Es liegt ein Extremalproblem vor, das heißt, dass ein Wert (Funktionswert) in

Abhängigkeit von einer Variablen mehr oder weniger groß werden soll.

Bei solchen Aufgaben ist eine Gleichung einer Zielfunktion aufzustellen.

Diese ist dann auf Extremwerte zu untersuchen (oft mit Hilfe ihrer Ableitungsfunktionen).

Stelle bei solchen Aufgaben stets folgende Fragen bzw. arbeite folgende Schrittfolge ab:

(1)  Was soll minimal, maximal oder extremal werden?  (ein Wert A)

(2)  Von welchem Wert ist diese Größe abhängig?  (von einem Wert u)

(3)  Der Wert A muss sich dann in Abhängigkeit von u mit Hilfe von Haupt- und Nebenbedingungen durch einen Term, in der nur die gegebene Variable u vorkommt, darstellen lassen.

 (Natürlich sind auch andere Variable möglich!)

(4) Die Zielfunktion hat dann die Form A = g(u),

(5)  Die Zielfunktion ist abzuleiten, die Extremstellen sind zu berechnen,

(6)  Wichtig für den Nachweis der Globalität eines Extremwertes (Funktionswertes) ist das Verhalten der Zielfunktion an den Rändern ihres Definitionsbereiches.

c)

Bilde die 1. Ableitung.

Berechne die mögliche Extremstelle in Abhängigkeit von t.

Setze den Term von t gleich  –1.

oder:

Setze f ’(-1) gleich 0 und löse diese Gleichung nach t auf.

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