Klasse 12:  Exponentialfunktionen

erarbeitet von R. Bothe

 

| Aufgabenübersicht Klasse 12  | Lösungshinweise | Aufgabe |

 

mögliche Lösungswege:

a)       Kurvendiskussion:

Schnittpunkt mit der y-Achse:
Verhalten im Unendlichen:







Ableitungen:













Extrempunkte:









Wendepunkte:









b)       Nachweis der Nullstellenzahl:








c)       Nachweis der Existenz einer Nullstelle in [-0,48;-0,47]:




d)       Inhalt der eingeschlossenen Fläche:

Die Funktion f ist stetig über R und sie besitzt genau zwei Extremwerte. Der Extremwert an der Stelle 0 ist negativ und der Extremwert an der Stelle zwei ist positiv. Mit dem Verhalten im Unendlichen (siehe a).) folgt zwingend, dass der Graph von f die x-Achse nur dreimal schneiden kann.

1. Schnittstelle zwischen - und 0

2. Schnittstelle zwischen 0 und 2

3. Schnittstelle zwischen 2 und +

f(-0,48) =  0,012 ... > 0

f(-0,47) = -0,039 ... < 0

Da die Funktion f über R stetig ist, folgt nach dem Nullstellensatz von Bolzano, dass die Funktion in [-0,48;-0,47] mindestens eine Nullstelle hat.

f (x) = x e1 - x (2 - x)           F(x) = f(x) + C = x2 e1 - x - 1 + C

f hat die Nullstellen xT = 0 und xH = 2

Also folgt:

zurück