Klasse 12/13:	erarbeitet von R. Bothe
| Aufgabenübersicht Klasse 12 | Aufgabe | Ergebnisse | Lösungswege |
Lösungshinweise:
Merke: Für alle Exponentialfunktionen der Form f(x) = e^ax gilt: f ’(x) = a × e^ax Beispiel: f(x) = e^-^2x ® f’(x) = -2 × e^-^2x Für die gegebenen Funktionsterme gilt: Es werden die Terme zweier nicht konstanter Funktionen miteinander multipliziert. Also führt die Anwendung der Produktregel zum Ziel: f(x) = u(x) × v(x) ® f ’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x) Kurzform: f = u × v ® f ’ = u’ × v + u × v’ In den Funktionstermen b) bis f) gibt es außerdem noch einen Faktor, der konstant ist. Man kann also auch die Faktorregel anwenden: f(x) = a × g(x) ® f ’(x) = a × g’(x) Es erweist sich als vorteilhaft, das Produkt der Terme der nicht konstanten Funktionen durch Setzen einer Klammer vom konstanten Faktor abzusetzen. Das Anwenden der entsprechenden Regeln wird so erleichtert. Beispiel: f(x) = -4 × (x^2 + 3) × e^2x -4 : konstanter Faktor (a) x^2 + 3 : Term der 1. nicht konstanten Funktion (u) e^x : Term der 2. nicht konstanten Funktion (v) f = a × [ u × v ] Man schreibt also: f(x) = -4 × [(x^2 + 3) × e^2x] Anwenden der Ableitungsregeln: f ’(x) = -4 × g’(x) Mit g’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x) u = x^2 + 3 ® u’ = 2x v = e^2x ® v’ = 2e^x f’(x) = a × [ u’ × v + u × v’ ] folgt: f ’(x) = -4 × [ 2x × e^2x + (x^2 + 3) × 2e^2x] Im nächsten Schritt formt die in Klammern stehende Summe durch ausklammern von gemeinsamen Faktoren in eine Produkt um: f ’(x) = -4 × [ 2x × e^2x + (x^2 + 3) × 2e^2x] f ’(x) = -4 × 2e^2x [x + (x^2 + 3)] Anschließend vereinfacht man noch die in der Klammer übrig bleibende Summe: f ’(x) = -4 × 2e^2x [x + x^2 + 3] (runde Klammer auflösen) f ’(x) = - 8e^2x (x^2 +x + 3) (Ordnen der Summanden nach Grad der Potenz) Diese Art der Umformung hat den Vorteil, dass man mögliche Extremstellen einfach berechnen kann. Auch die 2. Ableitung lässt sich vorteilhafter bilden, da man die Produktregel nur einmal anwenden muss.
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