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Klasse
12/13: |
erarbeitet
von R. Bothe |
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| Aufgabenübersicht | spezielle Lösungshinweise | Aufgabe | Ergebnisse | |
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Allgemeine Hinweise zum Aufstellen von
Ebenengleichungen: |
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Mit Hilfe eines Stützvektors und zweier
nicht kollinearer Spannvektoren lässt sich in jedem Fall eine Ebenengleichung in
Parameterform aufstellen.
Ein Stützvektor ist stets durch
einen festen Punkt der Ebene bestimmt.
Spannvektoren sind Vektoren,
deren Pfeile sich durch Parallelverschiebung in die Ebene abbilden lassen. (Spannvektoren
dürfen nicht kollinear sein, das heißt, ihre Pfeile dürfen nicht parallel
verlaufen.)
Spannvektoren können unter
anderen auch wie folgt bestimmt sein: Sie lassen sich mit Hilfe der
Ortsvektoren dreier Punkte berechnen (siehe Ebene E2), sie sind durch Richtungsvektoren
von Geraden gegeben (siehe Ebene E4), sie sind Verbindungspfeile
zweier Geraden, (auch von Hauptachsen), sie sind Verbindungspfeile
zwischen Punkt und Gerade (siehe Ebene E2), ein Spannvektor kann
Normalvektor einer anderen Ebene sein (Dann stehen die Ebenen senkrecht
aufeinander.), .... |
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Will man die Parameterform in
eine Koordinatenform umformen, benötigt man einen Vektor, der auf der Ebene
senkrecht steht (Normalvektor). Ein Normalvektor kann mit Hilfe von Skalarprodukten oder mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnet werden. Ein Vektor, der auf einer Ebene senkrecht steht, steht auch
auf jedem Spannvektor senkrecht. Also muss das Skalarprodukt aus dem Normalvektor und den
Spannvektoren jeweils 0 sein. Es entsteht ein unterbestimmtes
Gleichungssystem, zu dem mindestens eine Lösung zu bestimmen ist. Für das obige Beispiel heißt das: (a, b, c sind die
Komponenten des Normalvektors)
Auch mit dem Kreuzprodukt lässt sich ein Normalvektor berechnen:
Wenn der Normalvektoren die Komponenten a, b und c hat, dann
lautet die Koordinatengleichung von E: ax + by + cz = d. Da die Länge des Normalvektors für das Finden einer
Koordinatengleichung unerheblich ist, folgt für unser Beispiel:
E:
7x + y + 2z = d. Das ist eine Gleichung für unendlich viele parallele Ebenen.
Man erhält die gesuchte Gleichung indem man d mit Hilfe der Koordinaten eines
Punktes der Ebene berechnet: A(-3|2|1)
® 7×(-3) + 2 + 2×1 = -17 ® E: 7x + y + 2z = -17 |
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Mit Hilfe des Normalvektors und
eines Punktes P der Ebene lässt sich einfach eine Gleichung in Normalform
aufstellen:
Für unser Beispiel folgt:
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