Klasse
12/13 – Fläche unter Graphen |
erarbeitet von R. Bothe |
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Anleitung zur Berechnung des Flächeninhalts einer Fläche, die durch die x-Achse, dem Graphen einer Funktion und zwei Geraden der Form x = a und x = b begrenzt wird. |
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(a) |
Berechnen der Nullstellen xi der Funktion(i Î N, i ¹0; a < x1 < x2 < ... < xi < b). |
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(b) |
Bestimmen einer Stammfunktion F zur gegebenen Funktion f. |
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(c) |
Berechnen der Teilintegrale Ia(x1), Ix1(x2), ... , Ixi(b). |
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Nutze für die Berechnung der Integrale die folgende Schreibweise: |
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Lies: „I von x1 bis x2 ist
gleich Integral über f(x) dx in den Grenzen von x1 bis x2.“ |
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(d) |
Die Summe der Beträge der Teilintegrale ergibt den zu berechnenden Flächeninhalt. Man schreibt: Aa(b) = |Ia(x1)| + |Ix1(x2)| + ... + |Ixi(b)| (lies: „A von a bis b“) |
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Ausnahme: |
Wenn
der Inhalt der Fläche bestimmt werden soll, der nur durch den Graphen und die
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Beispiel: |
Der Graph der Funktion f mit f(x) = x3 - 4x,
die x-Achse und die Geraden Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. |
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Kommentar, Erklärung |
Rechenweg: |
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(a) |
Nullstellen der Funktion: |
0 = x3 - 4x Û 0 = x × (x2 - 4) Û 0 = x × (x - 2) × (x + 2) Û x = -2 Ú x = 0 Ú x = 2 |
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(b) (c) (d) |
Stammfunktion: Berechnen der Integrale: (Die Nullstelle x = -2 bleibt bei der Berechnung der Integrale unberücksichtigt, da sie außerhalb des zu berechnenden Intervalls liegt.) Flächeninhalt: |
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