Klasse 12/13 – Fläche unter Graphen

erarbeitet von R. Bothe

 

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Anleitung zur Berechnung des Flächeninhalts einer Fläche, die durch die x-Achse, dem Graphen einer Funktion und zwei Geraden der Form x = a und x = b begrenzt wird.

(a)

Berechnen der Nullstellen xi der Funktion(i Î N, i ¹0; a < x1 < x2 < ... < xi < b).

(b)

Bestimmen einer Stammfunktion F zur gegebenen Funktion f.

(c)

Berechnen der Teilintegrale Ia(x1), Ix1(x2), ... , Ixi(b).   

 

Nutze für die Berechnung der Integrale die folgende Schreibweise:

 

 

Lies:  „I von x1 bis x2 ist gleich Integral über f(x) dx in den Grenzen von x1 bis x2.“

(d)

Die Summe der Beträge der Teilintegrale ergibt den zu berechnenden Flächeninhalt.

Man schreibt: Aa(b) = |Ia(x1)| + |Ix1(x2)| + ... + |Ixi(b)|  (lies: „A von a bis b“)   

Ausnahme:

Wenn der Inhalt der Fläche bestimmt werden soll, der nur durch den Graphen und die
x-Achse begrenzt wird, dann gilt: a = x1 und b = xi.

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x) = x3 - 4x, die x-Achse und die Geraden
x = -1 und x = 4 begrenzen eine Fläche.

Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

 

Kommentar, Erklärung

Rechenweg:

(a)

Nullstellen der Funktion:

       0 = x3 - 4x

Û   0 = x × (x2 - 4)

Û   0 = x × (x - 2) × (x + 2)

Û   x = -2  Ú  x = 0  Ú  x = 2

(b)

 

 

(c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(d)

Stammfunktion:

 

 

Berechnen der Integrale:

(Die Nullstelle x = -2 bleibt bei der Berechnung der Integrale unberücksichtigt, da sie außerhalb des zu berechnenden Intervalls liegt.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Flächeninhalt:

 

 

 

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