Klasse 11: gebrochenrationale Funktionen		erarbeitet von R. Bothe
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Hinweise:
Merke! Die Untersuchung auf Nullstellen und Definitionslücken wird überschaubarer, wenn die Terme der Zähler- und der Nennerfunktion in Produkte umgeformt werden. Hilfe zum Umformen von Summen in Produkte - Eine gebrochenrationale Funktion hat Nullstellen, wenn der Term der Zählerfunktion an einer Stelle 0 ist und der Term der Nennerfunktion nicht gleichzeitig Null ist. - Nimmt der Zähler und der Nenner des Funktionsterms für gleiche Werte x0 den Wert 0 an, so ist die Stelle x0 hebbare Definitionslücke, wenn der gekürzte Term für die Stelle x0 definiert ist. (Die Funktion besitzt an dieser Stelle eine Grenzwert.) - Wird auch der gekürzte Term an dieser Stelle 0, so ist die Stelle x0 eine Polstelle. (Die Funktion divergiert an dieser Stelle.) - Man unterscheidet Polstellen gerader und Polstellen ungerader Ordnung. Polstellen ungerader Ordnung haben einen Sprung mit Vorzeichenwechsel und Polstellen ungerader Ordnung eine Sprung ohne Vorzeichenwechsel.
Beispiele:
	Zähler und Nenner werden für x0 = -2 Null. Der Wert des gekürzten Bruches existiert für x0= -2, also ist x0 = -2 behebbare Definitionslücke. An der Stelle x0 = -2 hat die Funktion einen Grenzwert. s ist die stetige Fortsetzung der Funktion f für die Stelle x0 = -2. Den Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0 = -2 bestimmt man, indem man den Funktionswert der stetigen Fortsetzung s der Funktion f für x0 berechnet. Auch für diese Funktion g werden Zähler und Nenner für x0 = -2 Null. Aber der Wert des gekürzten Bruches ist für x0 = -2 nicht definiert, also ist x0 = -2 Polstelle (An dieser Stelle divergiert die Funktion g). Da die Nennernullstelle des gekürzten Funktionsterms nur noch einfach auftritt, ist –2 eine Polstelle ungerader Ordnung. Man untersucht das Verhalten an dieser Stelle indem man für die stetige Fortsetzung s der Funktion f die Folge der Funktionswerte f(-2 + h) für h gegen 0 und h >0 untersucht. Da –2 eine Polstelle ungerader Ordnung ist, strebt die Funktion s und somit auch g rechts von –2 gegen + ¥. Für diese Funktion h wird nur der Nenner an der Stelle x0 = -2 Null. Der Funktionswert der Funktion h ist an der Stelle –2 nicht definiert. Deshalb ist auch diese –2 eine Polstelle (An dieser Stelle divergiert h.) Da –2 eine Polstelle ungerader Ordnung ist, strebt die Funktion h rechts von –2 gegen - ¥. Hier tritt die Nennernullstelle –2 doppelt auf. Deshalb ist –2 für die Funktion k eine Polstelle gerader Ordnung. Die Funktion k weist an der Stelle x0 = -2 also einen Sprung ohne Vorzeichenwechsel auf. Da –2 eine Polstelle gerader Ordnung ist, strebt die Funktion k rechts von –2 ebenfalls gegen- ¥.
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