Klasse 11:  analytische Geometrie

erarbeitet von R. Bothe

 

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Beispiel:

Gegeben ist eine Parabel p der Form  y = x2 – 2x + 3 sowie eine Gerade g der Form y = -3x + 5.

a)      An der Stelle 3 sei eine Tangente t1 an p gelegt. Ermittle eine Gleichung von t1.

b)      Eine Parallele t2 zu g sei Tagente an p. Bestimme eine Gleichung von t2.

c)       Welche Geraden durch den Punkt P(-1|-3) sind Tangenten an p?

/(1)    Ermittle eine allgemeine Gleichung für alle Geraden, die auch die Grundeigenschaft der Tangente besitzen.

 

(Grundeigenschaften sind: 
„parallel verlaufen“, „senkrecht stehen“, „durch einen Punkt verlaufen“, „ an einer Stelle schneiden“ usw.)
Eine Gleichung für alle Geraden ist:  y = mx + n )

 

 zu a)

Da die Parabel p an der Stelle 3 berührt werden soll, muss die Tangente durch den Punkt B(3 | f(3)) verlaufen.

f(3) = 32 – 2 × 3 + 3 = 6  ®   B(3 | 6)      Mit y = mx + n folgt:    
                                                                     6 = 3m + n

                                                               Û  n = 6 – 3m

Also heißt eine allgemeine Gleichung für alle Geraden durch B:  y = mx + 6 – 3m

 

 zu b)

Parallele Geraden haben den gleichen Anstieg.

Also heißt eine allgemeine Gleichung für alle Geraden, die zu g parallel verlaufen:  y = -3x + n

 

 zu c)

Da die Tangenten durch P(-1 | -3) verlaufen, folgt mit y = mx + n:

                                                                                             -3 = -1m + n

                                                                                    Û     n = -3 + m

Also heißt eine allgemeine Gleichung für alle Geraden durch P:  y = mx - 3 +  m

/(2)  Setze die Parabelgleichung mit der in (1) gefundenen allgemeinen Gleichung gleich und löse diese Gleichung nach x auf.

 

/(3)  Setze die in (2) gefundene Diskriminante gleich Null und löse die Gleichung.
(denn gesucht sind die Parameter  m bzw. n für die  die Gerade mit der Parabel genau einen Schnittpunkt hat.)

 

 

/(4)  Schreibe die entsprechenden Tangentengleichungen auf, indem du die in Schritt (3) errechneten  Werte in die in Schritt (1) aufgestellten Gleichungen einsetzt.

 

zu a)

y = mx + 6 – 3m  und   m = 4

, also gilt für   t1 :  

y = 4x + 6 – 3 × 4

 

 

 

 

y = 4x – 6

 

zu b) 

y = -3x + n  

und   n =

, also gilt für   t2  :

y = -3x + 2,75

 

zu c)

y = mx + m – 3 und

m = -10

    ,  also gilt:

y = -10 x – 13

 

m = 2

y = 2x – 1

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