Klasse 13 – Grundregeln für das Bilden von Ableitungen: |
erarbeitet
von R. Bothe |
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Anwenden der Produktregel: |
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Rechenweg: |
Kommentar, Erklärung, Regel: |
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f(x) = x2 × (4x – 1)3 |
Die Funktion f hat die Form f(x)
= u(x) ×
v(x) (Produkt
zweier Terme, die von einer Variablen abhängig sind) Funktionen dieser Form werden
mit Hilfe der Produktregel (nicht zu
verwechseln mit der Produktregel: f ’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x) Kurzform: f ’ = u’× v + u × v’ |
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u(x) = x2 à
u’(x) = 2x
v(x) = (4x - 1)3 à v’(x) = 4 × 3 × (4x - 1)2
= 12
(4x – 1)2 ( v ist eine verkette Funktion und wird so mit der Kettenregel abgeleitet.) |
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f ’(x) = 2x × (4x - 1)3 + x2
× 12
(4x – 1)2 |
Bilden der 1. Ableitung mit Hilfe der Produktregel. |
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f ’(x) = 2x (4x - 1)2 × [4x - 1 + 6x] f ’(x) = 2x(4x - 1)2 × (10x - 1) |
Das Umformen
des Funktionsterms in ein Produkt bringt Vorteile bei der Berechnung von
Extremstellen.
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f ’(x) = 2 × [(4x - 1)2
×
(10x2 - 1x)] f ’’(x) = 2 × [4 × 2(4x - 1)(10x2 - x)+(4x - 1)2 × (20x - 1)] f ’’(x) = 2 × (4x - 1) × [8×(10x2 - x) + (4x - 1) (20x - 1)] f ’’(x) = 2 × (4x - 1) × [80x2
- 8x + 80x2
- 4x – 20x + 1] f ’’(x) = 2 × (4x - 1) × (160x2
– 32x + 1) |
Will man die 2.
Ableitung bestimmen, ist die Form
Faktor mal Produkt aus zwei Faktoren Anwenden der Faktor- und Produktregel |
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