Klasse 13 – Grundregeln für das Bilden von Ableitungen:

erarbeitet von R. Bothe

 

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Anwenden der Produktregel:

Rechenweg:

Kommentar, Erklärung, Regel:

f(x) = x2 × (4x – 1)3

Die Funktion f hat die Form f(x) = u(x) × v(x)

(Produkt zweier Terme, die von einer Variablen abhängig sind)

Funktionen dieser Form werden mit Hilfe der Produktregel (nicht zu verwechseln mit der
(Faktorregel) abgeleitet:

Produktregel:

                f ’(x) = u’(x) × v(x) + u(x) × v’(x)

Kurzform:     f ’ = u’× v + u × v’

 

u(x) = x2              à    u’(x) = 2x

v(x) = (4x - 1)3   à   v’(x) = 4 × 3 × (4x - 1)2

                                              = 12 (4x – 1)2

    ( v ist eine verkette Funktion und wird so mit der Kettenregel abgeleitet.)

f ’(x) = 2x × (4x - 1)3  + x2 × 12 (4x – 1)2

Bilden der 1. Ableitung mit Hilfe der Produktregel.

f ’(x) = 2x (4x - 1)2 × [4x - 1 + 6x]

f ’(x) = 2x(4x - 1)2 × (10x - 1)

Das Umformen des Funktionsterms in ein Produkt bringt Vorteile bei der Berechnung von Extremstellen.

 

 

 

f ’(x) = 2 × [(4x - 1)2 × (10x2 - 1x)]

 

 

f ’’(x) = 2 × [4 × 2(4x - 1)(10x2 - x)+(4x - 1)2 × (20x - 1)]

f ’’(x) = 2 × (4x - 1) × [8×(10x2 - x) + (4x - 1) (20x - 1)]

f ’’(x) = 2 × (4x - 1) × [80x2 - 8x + 80x2 - 4x – 20x + 1]

f ’’(x) = 2 × (4x - 1) × (160x2 – 32x + 1)

Will man die 2. Ableitung bestimmen, ist die Form

Faktor mal Produkt aus zwei Faktoren
 günstiger.

Anwenden der Faktor- und Produktregel

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