Klasse 11: 

erarbeitet von R. Bothe

 

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Hinweise:

Zum Ableiten nutze die folgenden Ableitungsregeln:

In den meisten Fällen reicht eine Regel allein nicht aus. Man wendet diese  Regeln in Kombination an. (Weitere Regeln siehe unten.)

Beispiel:                                                        f(x) = 5x3 – 4x2

Analyse der Struktur des Funktionsterms:

Der Funktionsterm ist eine Summe bestehend aus den Summanden 5x3 und –4x2.

(Die Summenregel besagt, das man jeden Summanden einzeln ableiten darf.)

Die Zahl 5 ist ein Faktor vor einer Potenz dritten Grades. (Anwenden der Faktor- und Potenzregel)

Die Zahl –4 ist ein Faktor vor einer Potenz zweiten Grades. (Anwenden der Faktor- und Potenzregel)

u(x) = 5x3  ® u’(x) = 5 × 3x3-1 =15x2                       weitere Hilfe

v(x) = -4x2 ® v’(x) = -4 × 2x2-1 = -8x 

                                                                 ®  f ’(x) = 15x2 – 8x

 

Oft lässt sich eine Funktion einfacher ableiten, wenn man den Funktionsterm vor dem Anwenden der Ableitungsregeln umformt bzw. durch Setzten von Klammern seine Strukturen verdeutlicht.

Deshalb lohnt sich vor dem Bewältigen der eigentlichen Ableitungsaufgabe eine gründliche Analyse des jeweiligen Funktionsterms:

Man sollte sich stets die folgenden Fragen stellen und natürlich auch beantworten:

Kommt im Funktionsterm ein Faktor vor, der konstant ist (also unabhängig von der Variablen ist, nach der abgeleitet werden soll) oder lässt sich durch Ausklammern ein Faktor mit der eben genannten Eigenschaft finden?

Ist das der Fall, sollte man die Faktorregel anwenden:

f(x) = a × g(x)   ®  f ‘(x) = a × g’(x)

Durch Setzen zusätzlicher Klammern kann man diesen Sachverhalt noch verdeutlichen:

(Alle Beispiele beziehen sich auf Aufgabe 1 - Ableitungsübungen)


In Aufgabe c) ist bereits ein konstanter Faktor (Ö17) ausgeklammert. Man sollte deshalb auch beim Ableiten die Faktorregel anwenden.

Lässt sich der Funktionsterm durch Anwenden von Potenzdefinitionen bzw. Potenzgesetzen sinnvoll vereinfachen?

 
Jetzt lassen sich die Faktorregel und die Potenzregel anwenden.

Weitere Fragen wären:

Lohnt sich die Umformung des Funktionsterms in ein Produkt?

Kann ich einen Quotienten durch einfaches Umformen in eine Summe oder in einen Term, der eine verkettete Funktion darstellt,  umformen?

Merke:  Negative Exponenten sind nur dann sinnvoll, wenn sich durch diese Umformung das Anwenden der Produkt- bzw. der Quotientenregel erübrigt.
(wie z. B. in Aufgabe b).)

Ist eine Polynomendivision angebracht (bei gebrochenrationalen Funktionen)?

Erst dann folgen die entscheidendenden Fragen:

Welche Struktur hat jetzt der Funktionsterm? Welche Ableitungsregeln muss ich anwenden?

Merke:    Kommt in einem Produkt in beiden Faktoren eine Variable vor, nach der abgeleitet werden soll, so musst du die Produktregel anwenden.
(wie z. B. in Aufgabe e).)
Ist ein Faktor unabhängig von der Variablen, nach der abgeleitet werden soll, so wende die Faktorregel an.
(wie z. B. in den Aufgaben b), c), d), e) und f))
Aufgabe d) sollte man bei Beachtung der Faktorregel mit der Kettenregel differenzieren.
In Aufgabe e) ist das Anwenden der Faktorregel und der Produktregel sinnvoll. Aufgabe f) sollte man bei Beachtung der Faktorregel mit der Quotientenregel ableiten.

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