Beispiel: |
gegeben: c = 4,3 cm, a = 3,3 cm, b = 2,1 cm ® c > a > b |
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Mit dem Kosinussatz
hat man bereits die Größe des Winkels ÐCAB berechnet: a « 48,32°. Mit Hilfe des
Sinussatzes kommt man dann auf die Gleichung: sin g = 0,97314… ®
g0 «
76,69° ® g1
« 76,69° (I. Quadrant) g2 « 103,31° (II. Quadrant) Mit Hilfe des
Innenwinkelsatzes für Dreiecke würde man für die Größe des Winkels ÐABC die folgenden Werte erhalten: b1 « 54,99° b2 « 27,37 ° |
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Es stehen also folgende
zwei Möglichkeiten zur Auswahl: (1) a « 48,32°; b « 54,99°; g « 76,69° (g >
b
> a) (2) a « 48,32°; b « 27,37 °; g « 103,31° (g
> a
> b) aus c > a > b folgt wegen der
Seiten-Winkel-Relation: g
> a > b. Diese Beziehung wird
nur durch Möglichkeit (2) erfüllt. Also hat der Winkel ÐABC die Größe b « 27,37°
und der Winkel |
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Schlussfolgerung: Sind in einem Dreieck die
Größen aller drei Winkel zu berechnen, dann beginne stets mit dem Winkel, der
der längsten Seite gegenüberliegt. Somit kommen für die
Größen der anderen beiden Innenwinkel nach dem Innenwinkelsatz für Dreiecke
nur Werte infrage, die kleiner als 90° sind. |
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Achtung! Sind in einem Dreieck zwei Seiten und der Winkel gegeben,
der der kleineren der beiden Seiten gegenüberliegt, dann sind folgende Fälle
möglich: (1)
Es
existiert kein Dreieck aus den gegebenen Stücken, (2)
es
existiert genau ein Dreieck aus den gegebenen Stücken, (3) es gibt zwei nicht kongruente Dreiecke
aus den gegebenen Stücken. |
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Beispiele:
(Für alle Beispiele gilt: a
ist die Länge der Seite BC, |
zu (1): c = 10, b
= 4, b = 30°; |
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zu (2): c = 10, b
= 5, b = 30°; |
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zu (3): c = 10, b
= 6, b = 30°. |
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Überprüfe die Behauptungen durch Rechnung. Fällt Dir eine
allgemeine Fallunterscheidung für diese drei Fälle ein? |
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