Beispiel:

gegeben: c = 4,3 cm, a = 3,3 cm, b = 2,1 cm         c > a > b

 

Mit dem Kosinussatz hat man bereits die Größe des Winkels

CAB berechnet: a « 48,32.

Mit Hilfe des Sinussatzes kommt man dann auf die Gleichung:

sin g = 0,97314      g0 « 76,69                 g1 « 76,69  (I. Quadrant)

                                                                             g2 « 103,31 (II. Quadrant)

Mit Hilfe des Innenwinkelsatzes für Dreiecke würde man für die Größe des Winkels ABC die folgenden Werte erhalten:                     b1 « 54,99

                                                                             b2 « 27,37

 

Es stehen also folgende zwei Möglichkeiten zur Auswahl:

(1)   a « 48,32;    b « 54,99;      g « 76,69              (g > b > a) 

(2)   a « 48,32;    b « 27,37 ;     g « 103,31            (g > a > b)

aus c > a > b folgt wegen der Seiten-Winkel-Relation:        g > a > b.

Diese Beziehung wird nur durch Möglichkeit (2) erfüllt.

Also hat der Winkel ABC die Größe b « 27,37 und der Winkel
ACB die Größe g « 103,31.

Schlussfolgerung:

Sind in einem Dreieck die Größen aller drei Winkel zu berechnen, dann beginne stets mit dem Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt.

Somit kommen für die Größen der anderen beiden Innenwinkel nach dem Innenwinkelsatz für Dreiecke nur Werte infrage, die kleiner als 90 sind.
(Oft hilft auch eine Konstruktion der Dreiecke aus den gegebenen Stücken weiter.)

Achtung! 

Sind in einem Dreieck zwei Seiten und der Winkel gegeben, der der kleineren der beiden Seiten gegenüberliegt, dann sind folgende Fälle möglich:

(1)      Es existiert kein Dreieck aus den gegebenen Stücken,

(2)      es existiert genau ein Dreieck aus den gegebenen Stücken,

(3)      es gibt zwei nicht kongruente Dreiecke aus den gegebenen Stücken.

Beispiele:    (Für alle Beispiele gilt: a ist die Länge der Seite BC,
b ist die Länge der Seite AC, c ist die Länge der Seite AB,
a ist die
Größe des Winkels
CAB, b ist die Größe des Winkels
ABC und g ist die Größe des Winkels ACB in einem Dreieck ABC.)

zu (1):  c = 10, b = 4, b = 30;

zu (2):  c = 10, b = 5, b = 30;

zu (3):  c = 10, b = 6, b = 30.

Überprüfe die Behauptungen durch Rechnung.

Fällt Dir eine allgemeine Fallunterscheidung für diese drei Fälle ein?

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