Klasse 10: Trigonometrie

erarbeitet von R. Bothe

 

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Lösungshinweise:

Mit Hilfe des Sinus- und des Kosinussatzes lassen sich alle Stücke eines Dreiecks berechnen, wenn drei voneinander unabhängige Stücke gegeben sind.

Sinussatz:

In jedem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Kosinussatz:

In jedem Dreieck ist das Quadrat der Länge einer Seite gleich der Summe der Quadrate der Längen  der beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus den Längen dieser Seiten und dem Kosinus der Winkelgröße des von ihnen eingeschlossenen Winkels.

 

 

 

 

 

 

 

 

Man unterscheidet vier Fälle auf die sich alle anderen Möglichkeiten zurückführen lassen.

Die Übersicht zeigt eine Verwendung der beiden Sätze bei folgenden gegebenen Stücken:

gegebene Stücke:

Lage:

Lösung mit:

Zwei Seiten und der Gegenwinkel einer dieser beiden Seiten:

(ssw)

Sinussatz (Kosinussatz)

eine Seite und zwei Winkel:

(wsw, sww)

Innenwinkel- und Sinussatz

drei Seiten:

(sss)

Kosinussatz

zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel:

(sws)

Kosinussatz

Mögliche Vorgehensweise beim Aufstellen von Gleichungen zum Sinus- bzw. Kosinussatz:

(1)   Anfertigen einer Skizze,

(2)   Eintragen der gegebenen Stücke,

(3)   Ermitteln der Lage gemäß der obigen Tabelle,

(4)   Aufstellen einer möglichen Gleichung.
(Die Gleichung ergibt sich aus den gegebenen Stücken. Oft kommt die gesuchte Größe in der Ausgangsgleichung nicht vor. Dann müssen weitere Beziehungen, in denen dann auch die „Zwischenergebnisse“ vorkommen, aufgestellt werden.)
Nehmen wir einmal an, dass in unserem Beispiel für den Kosinussatz nicht r gesucht ist, sondern die Größe a.
Dann muss trotzdem zuerst  die Länge r berechnet werden. Mit diesem Zwischenergebnis r kann dann mit Hilfe des Sinussatzes (oder auch des Kosinussatzes) die Größe
a berechnet werden:

(5)   Beachte, dass bei der Anwendung des Sinussatzes stets zwei Winkelgrößen für die Lösung in Frage kommen. (Ist doch der Sinus im I. und II. Quadranten positiv.)
Die Seiten-Winkel-Relation sagt dir welche Größe für die Lösung in Frage kommt.

Seiten-Winkel-Relation:

In jedem Dreieck gilt: Der längeren von zwei Seiten liegt der größere Winkel gegenüber.

Beispiel:

gegeben: c = 4,3 cm, a = 3,3 cm, b = 2,1 cm

 

Mit dem Kosinussatz hat man bereits die Größe des Winkels

ĐCAB berechnet: a « 48,32°.

Mit Hilfe des Sinussatzes kommt man dann auf die Gleichung:

sin g « 0,97314   ®       g0 « 76,69°      ®            g1 « 76,69°  ( I. Quadrant )

                                                                             g2 « 103,31° ( II. Quadrant )

Mit Hilfe des Innenwinkelsatzes für Dreiecke würde man für die Größe des Winkels ĐABC die folgenden Werte erhalten:                     b1 « 54,99°

                                                                             b2 « 27,37 °

Überlege selbst, welche Winkelgrößen für das durch die obigen Werte eindeutig bestimmte Dreieck infragekommen .                        Kontrolle

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