Klasse
10: Trigonometrie |
erarbeitet
von R. Bothe |
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| Aufgabenübersicht Klasse 10 | Aufgabe | Ergebnisse | Übungsaufgaben | |
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Lösungshinweise: |
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Mit Hilfe des Sinus- und
des Kosinussatzes lassen sich alle Stücke eines Dreiecks berechnen, wenn drei voneinander unabhängige Stücke
gegeben sind. |
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Sinussatz: In jedem Dreieck
verhalten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel. |
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Kosinussatz: In
jedem Dreieck ist das Quadrat der Länge einer Seite gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus den Längen dieser Seiten und dem Kosinus der
Winkelgröße des von ihnen eingeschlossenen Winkels. |
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Man unterscheidet vier Fälle auf die
sich alle anderen Möglichkeiten zurückführen lassen. Die Übersicht zeigt eine Verwendung der beiden Sätze bei
folgenden gegebenen Stücken:
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gegebene Stücke: |
Lage: |
Lösung
mit:
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Zwei Seiten und der Gegenwinkel einer
dieser beiden Seiten: |
(ssw) |
Sinussatz (Kosinussatz) |
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eine Seite und zwei Winkel: |
(wsw, sww) |
Innenwinkel- und Sinussatz |
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drei Seiten: |
(sss) |
Kosinussatz |
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zwei Seiten und der eingeschlossene
Winkel: |
(sws) |
Kosinussatz |
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Mögliche Vorgehensweise beim Aufstellen von Gleichungen zum Sinus- bzw. Kosinussatz: (1)
Anfertigen einer Skizze, (2)
Eintragen der gegebenen Stücke, (3) Ermitteln der Lage gemäß der obigen Tabelle,(4)
Aufstellen einer möglichen Gleichung. (5)
Beachte, dass bei der Anwendung des Sinussatzes stets
zwei Winkelgrößen für die Lösung in Frage kommen. (Ist doch der Sinus im I.
und II. Quadranten positiv.) Seiten-Winkel-Relation:
In jedem Dreieck gilt: Der längeren von zwei Seiten
liegt der größere Winkel gegenüber. |
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Beispiel: |
gegeben: c = 4,3 cm, a = 3,3 cm, b = 2,1 cm |
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Mit dem Kosinussatz
hat man bereits die Größe des Winkels ĐCAB berechnet: a « 48,32°. Mit Hilfe des
Sinussatzes kommt man dann auf die Gleichung: sin g « 0,97314 ® g0 «
76,69° ® g1
« 76,69° ( I. Quadrant ) g2 « 103,31° ( II. Quadrant ) Mit Hilfe des
Innenwinkelsatzes für Dreiecke würde man für die Größe des Winkels ĐABC die folgenden Werte erhalten: b1 « 54,99° b2 « 27,37 ° Überlege selbst,
welche Winkelgrößen für das durch die obigen Werte eindeutig bestimmte
Dreieck infragekommen . Kontrolle |
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