Klasse 10:  Trainingsaufgaben zur Prüfungsklausur 

erarbeitet von R. Bothe

 

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Lösungshinweise:

a)

Die Graphen der Funktionen sind Normalparabeln.
Berechne zunächst die Scheitelpunktkoordinaten.

 

 

Die Gleichung der Funktion f1 hat die allgemeine Form

 f(x) = ±(x + d)2 + e   Scheitelpunkt:  S(-d|e)         (Scheitelpunktform)

Der Scheitelpunkt der quadratischen Parabel ist der Punkt mit minimalem oder maximalem Funktionswert. Für –d wird das Quadrat 0, also minimal. Somit wird der Funktionswert 
f(-d) minimal (wenn vor der Klammer ein „+“ steht) bzw. maximal (wenn vor der Klammer ein „-“steht.).

 

Die Gleichung der Funktion f2 hat die allgemeine Form

 

 

f(x) = x2 + px + q,    Scheitelpunkt : 

(Normalform)

b)

Fasse die Gleichungen der Funktionen als Gleichungen eines Gleichungssystems auf und löse das Gleichungssystem.

 

 

möglicher Weg:

-          Gleichsetzen der beiden Gleichungen,

-          Auflösen der Klammern,

-          Umformung in die Normalform x2 + px + q = 0,

-          Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (siehe Tafelwerk),

-          Berechnen der Funktionswerte zu den gefundenen x-Werten,

-          Aufschreiben der Koordinaten der Schnittpunkte in der Form P1( x1|f(x1), P2(x2|f(x2)).

c)

Nullstellen sind x-Werte, deren dazugehörige y-Werte 0 sind.

Setze also für f(x) in die Funktionsgleichung 0 ein und löse die so entstandene Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

d)

Für jeden Punkt auf der y-Achse gilt:  x = 0.

Setze also in die Funktionsgleichung für x den Wert 0 ein. und schreibe anschließend die Koordinaten des Schnittpunktes in der Form Py(0|f(0)) auf.

e)

Der Funktionswert von Punkten des Graphen der Funktion f2 ist gegeben.

Setze also in die Funktionsgleichung der Funktion f2 für f(x) den Wert 2,25 ein und löse die so entstandene quadratische Gleichung.

Schreibe anschließend die Koordinaten der entsprechenden Punkte auf.

f)

Für die Verschiebung von Parabeln der Form f(x) = ±(x + d)2 + e  in Richtung der y-Achse zeichnet sich ausschließlich der Summand e verantwortlich.

 

 

Gesucht ist also ein Wert e, so dass sich die Parabeln der Funktionen

fe mit fe(x) = - (x - 2)2 + e  und

f2 mit f(x) = x2 - 6x + 5

berühren. („Berühren“ heißt mathematisch, dass ihre Graphen genau einen Punkt gemeinsam haben.

 

 

Für unsere Aufgabe heißt das, das wir ein e so berechnen müssen, dass das Gleichungssystem

y = - (x - 2)2 + e

y = x2 - 6x + 5

genau ein Lösungselement hat.

 

 

 

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