|Klasse 9 - Umformen von Summen in Produkte					erarbeitet von R. Bothe
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Umformen von Summen in Produkte durch Abspalten von Linearfaktoren
Formen Sie die Summe 3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 in ein Produkt um.
	Rechenweg:			Kommentar, Erklärung, Regel:
3x^3 - 4x^2 + 3x - 2=				Beim Versuch, diese Summe in ein Produkt umzuformen, versagen herkömmliche Mittel wie Ausklammern, Mehrfachausklammern und binomische Formeln.
			3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 = 0	Wenn wir von dieser Gleichung eine Lösung x = x0 kennen würden, dann wäre die folgende Umformung richtig:
Û			(x - x0) × P = 0	P wäre das Polynom, das mit (x - x0) multipliziert die Summe 3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 ergibt.
				Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß bewies den folgenden Satz: Wenn eine ganzrationale Gleichung ganzzahlige Lösungen hat, so müssen es Teiler des absoluten Gliedes der Gleichung sein. (Logischer weise muss die Gleichung so umgeformt sein, dass kein Koeffizient ein gemeiner Bruch ist.) In „unserer“ Gleichung ist –2 das absolute Glied. Wenn „unsere“ Gleichung also ganzzahlige Lösungselemente hat, dann können es nur die Zahlen –2, -1, 1 oder 2 sein. Wir überführen die Aussageform mit Hilfe dieser Teiler in eine Aussage. Wenn die Aussage wahr ist, dann ist der entsprechende Teiler Lösungselement der Gleichung. x = 1 à 3 × 1^3 - 4 × 1 ^2 + 3 × 1 – 2 = 0 Û 3 - 4 + 3 - 2 = 0 Schon der 1. Versuch ist geglückt: Die Zahl 1 ist Lösungselement „unserer Gleichung“. Also folgt:
			3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 = 0
Û			(x - 1) × P = 0	Da die linken Seiten der Gleichungen wertverlaufsgleich sein müssen, muss gelten: 3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 = (x - 1) × P
				P muss also ein Polynom sei, das mit (x – 1) multipliziert den Term 3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 ergibt, also gilt: P = (3x^3 - 4x^2 + 3x - 2) : (x - 1)
				Nebenrechnung: Wegen P = 3x^2 - x + 2 folgt:
			(x - 1) × P = 0
Û			(x-1) × (3x^2 - x + 2) = 0
				Somit haben wir ein Produkt für unsere Summe gefunden :
3x^3 - 4x^2 + 3x - 2 = (x-1) × (3x^2 - x + 2)				Der Faktor 3x^2 – x + 2 lässt sich nicht weiter in ein Produkt zerlegen, da er für keine reelle Zahl den Wert 0 annehmen kann.
Rezept zum Umformen von Summen in Produkte durch Abspalten von Linearfaktoren:
(1)		Teiler des absoluten Gliedes bestimmen,
(2)		mindestens einen Teiler x0 finden, so dass der Wert des Terms 0 wird,
(3)		gegebene Summe durch den Binom (x - x0) dividieren (Polynomdivision durchführen),
(4)		das Produkt aus dem Binom und dem Ergebnis der Polynomdivision ist ein gesuchtes Produkt.
Merke! Ein Polynom n-ter Ordnung formt man in ein Produkt um, in dem man n – 2 Linearfaktoren abspaltet („oder durch ein Polynom n–2-ter Ordnung dividiert“).
Beispiel
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