Addition von Quotienten

erarbeitet von R. Bothe

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Die Addition von Quotienten wird in 4 Schritten durchgeführt: (Der Rechenweg ist entsprechend der Addition von gemeinen Brüchen)

(1)

Bestimmen eines gemeinsamen Nenners („Hauptnenner“),

(2)

Ermitteln der Erweiterungszahl für jeden Bruch,

(3)

Erweitern jeden Bruches auf den Hauptnenner,

(4)

Vereinfachen des Zählers des entstandenen Quotienten.

Rechenweg:

Kommentar, Erklärung, Regel:

B1:

5

+

1

=

4 × 5 + 3 × 1

(1)

Hauptnenner: 3 × 4

3

4

3 × 4

(2)

Erweiterungszahl des 1. Bruches: (3 × 4) : 3 = 4

Erweiterungszahl des 1. Bruches: (3 × 4) : 4 = 3

(3)

Zähler des 1. Bruches mit der 1. Erweiterungszahl multiplizieren, Zähler des 2. Bruches mit der 2. Erweiterungszahl multiplizieren,

=

20 + 3

(4)

Vereinfachen von Zähler (und Nenner).

12

=

23

12

Stehen im Zähler oder Nenner Variable gehen wir entsprechend vor:

B2:

5

+

c

=

x × 5 + a × c

(1)

Hauptnenner: a × x

a

x

a × x

(2)

Erweiterungszahl des 1. Bruches: (a × x) : a = x

Erweiterungszahl des 1. Bruches: (a × x) : x = a

(3)

Zähler des 1. Bruches mit der 1. Erweiterungszahl multiplizieren, Zähler des 2. Bruches mit der 2. Erweiterungszahl multiplizieren,

=

5x + ac

(4)

Vereinfachen von Zähler (und Nenner).

ax

ähnliche Kontrollaufgaben

Merke!

Der Hauptnenner muss stets ein Produkt sein. Er sollte so bestimmt werden, dass die Erweiterungszahlen keine Bruchform haben.

Rezept zum Bestimmen des „Hauptnenners“ (gemeinsames Vielfaches aller Nenner)

(1)

kgV aller Zahlen bestimmen, die als Faktor in den Nennern stehen,

(2)

die Basen aller im Nenner auftretenden Potenzen aufschreiben und Produkt bilden,

(3)

jede Basis mit dem entsprechenden höchsten Exponenten versehen,

(4)

das Produkt aus dem k. g. V. mit dem Produkt der Potenzen aus (3) ergibt den Hauptnenner.

B3:

3

+

x+1

-

x^2

+

x+2

(1)

kgV der Zahlen: 24

6x^3

8xy^2

2y

4x^2y^2

(2)

Basen: x × y

=

(3)

höchster Exponent der Basis x:  à 3

höchster Exponent der Basis y:  à 2 à x^3 × y^2

=

3 × 4y^2 + (x+1)×3x^2 - x^2×12x^3y + (x+2)×6x

(4)

Der Hauptnenner heißt 24 x^3y^2

24 x^3y^2

(5)

Jeden Bruch mit „seinem“ Erweiterungsfaktor erweitern.

=

12y^2 + 3x^3+3x^2 - 12x^5y + 6x^2 +12x

(6)

Auflösen der Klammern und zusammenfassen des Zählers.

24x^3y^2

=

- 12x^5y + 3x^3 +9x^2 +12x + 12y^2

Im Zähler 3 ausklammern und dann durch 3 kürzen !

24x^3y^2

=

- 4x^5y + x^3 +3x^2 +4x + 4y^2

8x^3y^2

ähnliche Kontrollaufgaben

Merke!

Sind die Nennerterme Summen, so sollte man bevor man das gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmt, jeden Nenner (wenn möglich) in ein Produkt zerlegen.

B4:

4

+

x

-

x^2

+

x+2

=

4

+

x

-

x^2

+

x+2

2x-1

4x-2

4

4x^2-4x+1

2x-1

2× (2x-1)

2×2

(2x-1)^2

Nach der Umformung in Produkte lässt sich das gemeinsame Vielfach leicht erkennen: 4×(2x-1)^2

Jetzt muss noch jeder Bruch auf den Hauptnenner erweitert werden:

1. Bruch: 4×(2x-1)^2 : (2x-1) = 4(2x-1)

(Erweiterungszahl des 1. Bruches)

2. Bruch: 4×(2x-1)^2 : [2(2x-1)] = 2(2x-1)

(Erweiterungszahl des 2. Bruches)

3. Bruch: 4×(2x-1)^2 : 4 = (2x-1)^2

(Erweiterungszahl des 3. Bruches)

4. Bruch: 4×(2x-1)^2 : (2x-1)^2 = 4

(Erweiterungszahl des 4. Bruches)

=

4 × 4 (2x-1) + x × 2 (2x-1) - x^2 × (2x-1)^2 + (x+2) × 4

4×(2x-1)^2

=

16 × (2x-1) + 2x × (2x-1) - x^2 × (4x^2-4x+1) + 4 × (x+2)

4×(2x-1)^2

=

32x - 16 + 4x^2- 2x - 4x^4 + 4x^3 - x^2 + 4x + 8

4×(2x-1)^2

=

- 4x^4 + 4x^3+ 3x^2 + 34x - 8

4×(2x-1)^2

ähnliche Kontrollaufgaben

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