Klasse 9: Umformen von Summen in Produkte durch Abspalten von Linearfaktoren

erarbeitet von R. Bothe

 

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Beispiel:

Forme in ein Produkt um.

6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6

Lösung:

(1)

Teiler des absoluten Gliedes:  T = {1;23; 6}

 

 

 

 


(2)

Die Summe kann in ein Produkt mit höchstens 4 Linearfaktoren zerlegt werden, da der höchste Grad der vorkommenden Potenzen 4 ist.

Angenommen die Gleichung  6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 wird durch die Lösungen x1, x2, x3 und x4 erfüllt, dann folgt:   6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = (x – x1)(x – x2)(x – x3)(x –x4)

Finden von Lösungen durch Variablenbelegung:

                                 x = 1:   614 + 513 - 3812 + 51 + 6   = 0

                                               6     +  5    - 38   +  5   +   6  = 0   falsche Aussage

                                 x = -1:    6(-1)4 + 5(-1)3 - 38(-1)2 + 5(-1) + 6   = 0

                                                    6      -     5     -  38        - 5       +  6        = 0    falsche Aussage

                                 x = 2:    624 + 523 - 3822 + 52 + 6     = 0

                                                 96 +  40  -   152  + 10  + 6    = 0

                                                          152 - 152                      = 0   wahre Aussage

                                    x1 = 2

                                 x = -2:   6(-2)4 + 5(-2)3 - 38(-2)2 + 5(-2) + 6    = 0

                                                    96   -  40    - 152     - 10     + 6     = 0   falsche Aussage

                                 x = 3:    634 + 533 - 3832 + 53 + 6     = 0

                                               486 + 135 -   342  + 15  + 6    = 0   f. A.

                                 x = -3:   6(-3)4 + 5(-3)3 - 38(-3)2 + 5(-3) + 6    = 0

                                                 486   -  135   - 342     - 15     + 6     = 0  

                                            492    -       492                     = 0   wahre Aussage

                             x2 = -3

 

Also gilt:       6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6    = (x - 2) (x + 3) P

           Û    6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6    = (x2 + x – 6) P                        (x 2; x -3)

            Û                                     P   = (6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6) : (x2 + x – 6)

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

Berechnen des Polynoms P mit Hilfe der Polynomdivision: 

Also folgt:      6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = (x - 2) (x + 3) (6x2 – x – 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) !

 

 

 

 

(4)

Mit Hilfe der Lösungen x3 und x4 der Gleichung 6x2 – x – 1 = 0 lässt sich auch diese Summe in ein Produkt zerlegen:

 

 

Somit folgt schließlich:   6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = (x - 2)(x + 3)(2x – 1)(3x + 1)

 

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