Klasse 9: Umformen von Summen in Produkte durch
Abspalten von Linearfaktoren |
erarbeitet von R. Bothe |
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Beispiel: |
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Forme in ein Produkt um. 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 |
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Lösung: |
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(1) |
Teiler des absoluten Gliedes: T = {±1;±2±3; ±6} |
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Die Summe kann in ein Produkt mit höchstens 4 Linearfaktoren zerlegt werden, da der höchste Grad der vorkommenden Potenzen 4 ist. Angenommen die
Gleichung 6x4 + 5x3
– 38x2 + 5x + 6 = 0 wird durch die Lösungen x1, x2,
x3 und x4 erfüllt, dann folgt: 6x4
+ 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = (x – x1)(x
– x2)(x – x3)(x –x4) Finden von Lösungen durch Variablenbelegung: x = 1: 6·14 + 5·13 - 38·12 + 5·1 + 6 = 0 6 + 5 - 38 + 5 + 6 = 0 falsche Aussage x = -1: 6·(-1)4 + 5·(-1)3 - 38·(-1)2 + 5·(-1) + 6 = 0 6 - 5 - 38 - 5 + 6 = 0 falsche Aussage x = 2: 6·24 + 5·23 - 38·22 + 5·2 + 6 = 0 96 + 40 - 152 + 10 + 6 = 0 152 - 152 = 0 wahre Aussage ® x1 = 2 x = -2: 6·(-2)4 + 5·(-2)3 - 38·(-2)2 + 5·(-2) + 6 = 0 96 - 40 - 152 - 10 +
6 = 0 falsche Aussage x = 3: 6·34 + 5·33 - 38·32 + 5·3 + 6 = 0 486 + 135 - 342 + 15 + 6 = 0 f. A. x = -3: 6·(-3)4 + 5·(-3)3 - 38·(-3)2 + 5·(-3) + 6 = 0
486 - 135 - 342 - 15 +
6 = 0 492 - 492 = 0 wahre Aussage ® x2 = -3 |
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Also gilt:
6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = (x - 2) · (x + 3)
· P
Û 6·x4
+ 5·x3 - 38·x2 + 5·x + 6 = (x2 + x – 6) · P (x
¹2; x ¹ -3) Û P = (6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6) : (x2
+ x – 6) |
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(3) (4) |
Berechnen des Polynoms P mit
Hilfe der Polynomdivision: Also folgt: 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = (x - 2) · (x + 3) · (6x2 – x – 1) |
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(2) ! (4) |
Mit Hilfe der Lösungen x3 und x4
der Gleichung 6x2 – x – 1 = 0 lässt sich auch diese Summe in ein
Produkt zerlegen:
Somit
folgt schließlich: 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = (x - 2)(x
+ 3)(2x – 1)(3x + 1) |
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